Thực đơn
Hàm_liên_tục Liên tục trên không gian mêtricLiên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:
Cho ( X , d 1 ) {\displaystyle (X,d_{1})} và ( Y , d 2 ) {\displaystyle (Y,d_{2})} là 2 không gian mê tric.
Ánh xạ f : ( X , d 1 ) → ( Y , d 2 ) {\displaystyle f\,\,:\,(X,d_{1})\,\rightarrow \,(Y,d_{2})} liên tục tại x ∈ X {\displaystyle x\in X} nếu
∀ ε > 0 , ∃ σ > 0 , d 1 ( x , y ) < σ ⇒ d 2 ( f ( y ) , f ( x ) ) < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists \sigma >0,\,d_{1}(x,y)\,<\,\sigma \,\Rightarrow d_{2}(f(y),f(x))\,<\varepsilon }
hay với mọi B ( f ( x ) , ε ) {\displaystyle B(f(x),\varepsilon )} tâm tại f ( x ) {\displaystyle f(x)} khi đó ∃ B ( x , σ ) {\displaystyle \exists B(x,\sigma )} tâm tại x {\displaystyle x} sao cho
f ( B ( x , σ ) ) ⊂ B ( f ( x ) , ε ) {\displaystyle f(B(x,\sigma ))\subset B(f(x),\varepsilon )} .
Cho hai không gian mêtric ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} và ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} với d X {\displaystyle d_{X}} là mêtric trên X {\displaystyle X} và d Y {\displaystyle d_{Y}} là mêtric trên Y {\displaystyle Y} .
f : X → Y {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y} là liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số K ≥ 0 {\displaystyle K\geq 0} sao cho với mọi x 1 , x 2 ∈ X {\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}
d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K d X ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),\,f(x_{2}))\leq K\,d_{X}(x_{1},\,x_{2})}
Hàm f ( x ) = x 2 + 5 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}}}+5} liên tục Lipchitz với K = 1 {\displaystyle K=1} .
Cho hai không gian mêtric ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} và ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} với d X {\displaystyle d_{X}} là mêtric trên X {\displaystyle X} và d Y {\displaystyle d_{Y}} là mêtric trên Y {\displaystyle Y} , với α {\displaystyle \alpha } là số thực.
f : X → Y {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y} là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số K ≥ 0 {\displaystyle K\geq 0} sao cho với mọi x 1 , x 2 ∈ X {\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}
d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K ( d X ( x 1 , x 2 ) ) α {\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),\,f(x_{2}))\leq K(\,d_{X}(x_{1},\,x_{2}))^{\alpha }}
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} là liên tục Holder với α ≤ 1 2 {\displaystyle \alpha \leq {\frac {1}{2}}} , nhưng không liên tục Lipchitz.
Cho X {\displaystyle X} và Y {\displaystyle Y} là hai không gian mêtric, f {\displaystyle f} là hàm từ X {\displaystyle X} vào Y {\displaystyle Y} .
Hàm f {\displaystyle f} là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì ( x 1 , x 2 , . . . ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},...)} trong X {\displaystyle X} , dãy ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , . . . ) {\displaystyle (f(x_{1}),\,f(x_{2}),\,...)} là dãy Cauchy trong Y {\displaystyle Y} .
Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục.Nếu X {\displaystyle X} là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên X {\displaystyle X} là liên tục Cauchy.
Trên đường thẳng thực R {\displaystyle \mathbb {R} } liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.
Hàm f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} khi x 2 < 2 {\displaystyle x^{2}<2} và f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} khi x 2 > 2 {\displaystyle x^{2}>2} với mọi số hữu tỉ x {\displaystyle x} . Hàm này liên tục trên Q {\displaystyle \mathbb {Q} } nhưng không liên tục Cauchy
Thực đơn
Hàm_liên_tục Liên tục trên không gian mêtricLiên quan
Hàm lượng giác Hàm liên tục Hàm lồi Hàm Lyapunov Hàm logistic Hàm lỗi Hàm Long Hàm lồi chính thường Hàm logarit Hàm LiêmTài liệu tham khảo
WikiPedia: Hàm_liên_tục http://mathematicspdf.blogspot.com/2013/04/introdu... http://mathematicspdf.blogspot.com/search/label/To... http://www.mediafire.com/download/f1c059t9w8ud6im/... http://mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.htm... http://mathworld.wolfram.com/classroom/classes/Top... http://math.mit.edu/people/profile.php?pid=194 http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-continuous_fun... http://en.wikipedia.org/wiki/Continuity_(topology)... http://en.wikipedia.org/wiki/Lipschitz_continuity http://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_continuous_fu...